Question

19．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：
（1）甲、乙两人相邻；
（2）甲、乙之间隔着2人；
（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；
（4）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；
（5）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法．

Answer 1

分析 （1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，
（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，
（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，
（4）（分步计数法），从7人中任取3人，如a，b，c，则改变原位置站法有2种，b，c，a和c，a，b，
（5）（定序法），先全排列，再除以顺序数，
（6）（固定模型法），先排列甲的情况．

解答 解：（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，故有$A_2^2A_6^6=1440$种，
（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有$A_5^2A_2^2A_4^4=960$种，
（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，故有$C_8^1C_9^1C_{10}^1=720$种，
（4）（分步计数法），从7人中任取3人，如a，b，c，则改变原位置站法有2种，b，c，a和c，a，b，固有$C_7^3×2=70$种，
（5）（定序法），先全排列，再除以顺序数，故有$\frac{A_7^7}{A_3^3}=840$种，
（6）（固定模型法），甲、乙两人坐法有（2，4）（2，5）（2，6）（3，5）（3，6）（4，6）6种，故有6×$A_2^2=12$种

点评 本题考查了排列的组合的问题，掌握常用的方法是关键，属于中档题