题目内容
已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1，若过点（2，
-1）的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，则直线l的倾斜角为 ．
| 3 |
考点：直线与圆相交的性质
专题：直线与圆
分析：首先，根据题意，求解该圆的标准方程，然后，分情况进行讨论，从而得到结果．
解答：
解：设A（-1，0），B（3，0），D（0，1），
则AB中垂线为x=1，AD中垂线为y=-x，
∴圆心C（x，y）满足
，
∴C（1，-1），
∴半径r=|CD|=
=
，
则圆C的标准方程为（x-1）2+（y+1）2=5；
当斜率不存在时，直线l：x=2到圆心的距离为1，亦满足题意，直线l的倾斜角为90°；
当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+
-1，由弦长为4，
∴圆心（1，-1）到直线l的距离为
=1，
∴
=1，
∴k=
，
此时直线l的倾斜角为30°，
综上所述，直线l的倾斜角为30°或90°
故答案为：30°或90°．
则AB中垂线为x=1，AD中垂线为y=-x，
∴圆心C（x，y）满足
|
∴C（1，-1），
∴半径r=|CD|=
| 1+4 |
| 5 |
则圆C的标准方程为（x-1）2+（y+1）2=5；
当斜率不存在时，直线l：x=2到圆心的距离为1，亦满足题意，直线l的倾斜角为90°；
当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+
| 3 |
∴圆心（1，-1）到直线l的距离为
| 5-4 |
∴
|k(1-2)+1+
| ||
|
∴k=
| ||
| 3 |
此时直线l的倾斜角为30°，
综上所述，直线l的倾斜角为30°或90°
故答案为：30°或90°．
点评：本题重点考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程、直线的斜率公式等知识，属于中档题．解题关键是正确求解圆的标准方程．
练习册系列答案
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