Question

已知函数f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

cosωxsinωx（ω＞0），f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离等于

π

2

，在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，若a=

3

，b+c=3，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离等于

π

2

，确定出f（x）周期为π，确定出ω的值，得出f（x）解析式，由f（A）=1，求出A的度数，再由a的值，利用余弦定理列出关系式，与b+c=3联立求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：f（x）=cos2ωx+

3

sin2ωx=2cos（2ωx-

π

3

），
∵ω＞0，f（x）的图象的两条相邻对称轴间的距离等于

π

2

，
∴函数f（x）的最小正周期为π，即ω=1，
∴f（x）=2cos（2x-

π

3

），
由f（A）=1，得到2cos（2A-

π

3

）=1，即cos（2A-

π

3

）=

1

2

，
∴2A-

π

3

=

π

3

，即A=

π

3

，
∵a=

3

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc①，
∵b+c=3，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=9②，
联立①②，解得：bc=2，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角函数的周期性及其求法，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．