Question

已知复数z₁=cos2x+λi，z₂=m+（sin2x-

3

m）i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂．
（Ⅰ）若λ=0时，且

π

2

＜x＜π，求x的值；
（Ⅱ）设λ=f（x），求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：复数相等的充要条件,两角和与差的正弦函数

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）利用复数的相等，求出λ的表达式，通过两角和与差的三角函数化简表达式，通过λ=0时，且

π

2

＜x＜π，求x的值；
（Ⅱ）设λ=f（x），直接利用正弦函数的单调性，求f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）复数z₁=cos2x+λi，z₂=m+（sin2x-

3

m）i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂，cos2x=m
λ=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
所以sin（2x-

π

3

）=0，2x-

π

3

=kπ，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
又

π

2

＜x＜π，所以x=

2π

3

；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
递增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]．k∈Z

点评：本题考查分的相等，三角函数的化简求值，函数的单调性的求法，考查计算能力．