Question

已知a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx，数列{

1

an

}的前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n+8，则b_n•S_n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,定积分

专题：计算题,综合题,等差数列与等比数列

分析：利用微积分基本定理可得a_n，利用裂项相消法可求得S_n，b_n•S_n=

n(n+8)

n+1

=n-

7

n+1

+7，由单调性可求得最值．

解答： 解：a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx=(x2+x

)|

n 0

=n²+n=n（n+1），
则

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
又b_n=n+8，∴b_n•S_n=

n(n+8)

n+1

=n-

7

n+1

+7，
易知n-

7

n+1

+7递增，∴n=1时b_n•S_n取得最小值，为1-

7

2

+7=

9

2

，
故答案为：

9

2

．

点评：本题考查定积分、数列求和及函数性质，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．