Question

已知函数f（x）=

(-1)nsin πx 2 +2n，x∈[2n，2n+1) (-1)n+1sin πx 2 +2n+2，x∈[2n+1，2n+2)

（n∈N），则f（1）-f（2）+f（3）-f（4）+…+f（2013）-f（2014）+f（2015）=

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：三角函数的求值

分析：根据解析式依次求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，归纳出f（n）=n，f（1）-f（2）=-1，f（3）-f（4）=-1，代入式子求值即可．

解答： 解：由题意得，f（x）=

(-1)nsin πx 2 +2n，x∈[2n，2n+1) (-1)n+1sin πx 2 +2n+2，x∈[2n+1，2n+2)

（n∈N），
所以f（1）=(-1)1sin

π

2

+2×0+2=1，f(2)=(-1)1sin

2π

2

+2×1=2，
f(3)=(-1)2sin

3π

2

+2×1+2=3，f(4)=(-1)2sin

4π

2

+2×2=4，
依此类推得，f（n）=n，f（1）-f（2）=-1，f（3）-f（4）=-1，…
所以f（1）-f（2）+f（3）-f（4）+…+f（2013）-f（2014）+f（2015）
=-1×1007+2015=1008，
故答案为：1008．

点评：本题考查分段函数及应用，考查数列的求和，三角函数的求值，考查基本的运算能力和探究能力，属于中档题．