Question

已知函数f（x）=

(x+1)2+cosx-sinx

x2+cosx+1

在区间[-1，1]上的最大值为M最小值为N，则M+N=

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：把已知的函数式变形，得到f（x）=

(x+1)2+cosx-sinx

x2+cosx+1

=

x2+2x+1+cosx-sinx

x2+cosx+1

=1+

2x-sinx

x2+cosx+1

．令g（x）=

2x-sinx

x2+cosx+1

，可知该函数为奇函数，然后由奇函数的图象的对称性求得函数f（x）的最值，由此求得M+N的值．

解答： 解：f（x）=

(x+1)2+cosx-sinx

x2+cosx+1

=

x2+2x+1+cosx-sinx

x2+cosx+1

=1+

2x-sinx

x2+cosx+1

．
∵g（x）=

2x-sinx

x2+cosx+1

为奇函数，
设其最大值为T，则其最小值为-T，
∴函数f（x）的最大值为T+1，最小值为-T+1，
则M=T+1，N=-T+1．
∴M+N=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了函数的最值的求法，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生的灵活思维能力，是中高档题．