Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，（a²+b²）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，则cosA=$\frac{{\sqrt{30}}}{15}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理化简可得：a²+b²=2c²，利用余弦定理，正弦定理化简sinAcosB=2cosAsinB可得：b²-a²=-$\frac{{c}^{2}}{3}$，联立解得a²=$\frac{7}{6}$c²，b²=$\frac{5}{6}$c²，进而利用余弦定理即可解得cosA的值．

解答 解：∵（a²+b²）tanC=8S，可得：（a²+b²）•$\frac{sinC}{cosC}$=4absinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴a²+b²=4abcosC=4ab•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2（a²+b²-c²），整理可得：a²+b²=2c²，①
又∵sinAcosB=2cosAsinB，
∴a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=2b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：b²-a²=-$\frac{{c}^{2}}{3}$，②
∴联立①②解得：a²=$\frac{7}{6}$c²，b²=$\frac{5}{6}$c²，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{5{c}^{2}}{6}+{c}^{2}-\frac{7{c}^{2}}{6}}{2×\sqrt{\frac{5}{6}}c×c}$=$\frac{{\sqrt{30}}}{15}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{30}}}{15}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．