Question

3．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（$\frac{π}{2}$+A）=$\frac{11}{14}$．
（Ⅰ）求tanA及角B的值；
（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=$\frac{π}{3}$，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tanA．
（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．

解答 解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=π，
则B=$\frac{π}{3}$，
∵sin（$\frac{π}{2}$+A）=$\frac{11}{14}$，
∴cosA=$\frac{11}{14}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$；
（Ⅱ）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴b=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=7，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
即25=49+c²-11c，
解得c=3或c=8，
∵cosA=$\frac{11}{14}$＞cos$\frac{π}{3}$，
∴A＜$\frac{π}{3}$，
∴C＞$\frac{π}{3}$，
∴c=3舍去，
故c=8．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．