Question

4．在平面五边形ABCDE中，已知∠A=120°，∠B=90°，∠C=120°，∠E=90°，AB=3，AE=3，当五边形ABCDE的面积$S∈[6\sqrt{3}，9\sqrt{3}）$时，则BC的取值范围为[$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 连接AB，可判断，△ABE是个等腰三角形，四边形BCDE是等腰梯形，
设BC=x，则S_BCDE=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
由S_BCDE∈[$\frac{15}{4}\sqrt{3}$，$\frac{27}{4}\sqrt{3}$），即可得15≤（6$\sqrt{3}$-x）x＜27，解得$\sqrt{3}$≤x$＜3\sqrt{3}$．

解答 解：如图，连接AB，
∵∠A=120°，∠B=90°，∠C=120°，∠E=90°，AB=3，AE=3，
∴△ABE是个等腰三角形，∠D=120°
S_△ABE=$\frac{1}{2}×3×3×sin12{0}^{0}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，BE=2AB×sin30°=3$\sqrt{3}$，
在等腰梯形BCDE中，∠C=∠D=120°，∠CBE=∠DEB=60°，设BC=x，
则CD=3$\sqrt{3}$-2BC×cos60°=3$\sqrt{3}-x$，
S_BCDE=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
当五边形ABCDE的面积$S∈[6\sqrt{3}，9\sqrt{3}）$时，S_BCDE∈[$\frac{15}{4}\sqrt{3}$，$\frac{27}{4}\sqrt{3}$）
即15≤（6$\sqrt{3}$-x）x＜27，解得$\sqrt{3}$≤x$＜3\sqrt{3}$
故答案为：[$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$）

点评 本题考查了三角形、梯形的面积计算，考查了函数的思想，属于中档题．