Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知O（0，0），A（$\frac{15}{4}$，0），曲线C上任一点M满足|OM|=4|AM|，点P在直线y=$\sqrt{2}$（x-1）上，如果曲线C上总存在两点到点P的距离为2，那么点P的横坐标t的范围是（　　）

• A． 1＜t＜3
• B． 1＜t＜4
• C． 2＜t＜3
• D． 2＜t＜4

Answer 1

分析 易得曲线C：（x-4）²+y²=1．设点P（t，$\sqrt{2}$（t-1）），只需点P到圆心（4，0）的距离小于2+r即可，即（t-4）²+2（t-1）²＜（2+1）²，解得t的范围．

解答 解：设M（x，y），∵M满足|OM|=4|AM|，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=16[（x-\frac{15}{4}）^{2}+{y}^{2}]$化简得：（x-4）²+y²=1
∴曲线C：（x-4）²+y²=1
设点P（t，$\sqrt{2}$（t-1）），只需点P到圆心（4，0）的距离小于2+r即可．
∴（t-4）²+2（t-1）²＜（2+1）²．
解得：1＜t＜3．
故选：A

点评 本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．属于中档题，