Question

14．已知直线l：x-y+a=0，点A（-2，0），B（2，0）．若直线l上存在点P满足AP⊥BP，则实数a的取值范围为[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 问题转化为求直线l与圆x²+y²=2²有公共点时，a的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．

解答 解：∵直线l：x-y+a=0，点A（-2，0），B（2，0），
直线l上存在点P满足AB⊥BP，
∴如图，直线l与圆x²+y²=2²有公共点，
∴圆心O（0，0）到直线l：x-y+a=0的距离：
d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$≤2，
解得$-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}$．
∴实数a的取值范围为[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．
故答案为：[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．