Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$\frac{c-4a}{b}$=$\frac{cos（A+B）}{cosB}$．
（1）求cosB的值；
（2）若△ABC的面积为$\sqrt{15}$，且a=c+2，求b的大小．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式、正弦定理求得cosB的值，可得sinB 的值．
（2）由条件求得a、c的值，再利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\frac{c-4a}{b}$=$\frac{cos（A+B）}{cosB}$，∴利用正弦定理可得$\frac{sinC-4sinA}{sinB}$=$\frac{-cosC}{cosB}$，
即 sinCcosB-4sinAcosB=-sinBcosC，即 sin（B+C）=4sinAcosB，
即 sinA=4sinAcosB，求得cosB=$\frac{1}{4}$，∴sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
（2）∵△ABC的面积为$\sqrt{15}$，且a=c+2，∴$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\sqrt{15}$，
即$\frac{1}{2}$•（c+2）c•$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$，求得c=2，a=4，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}{+c}^{2}-2ac•cosB}$=4．

点评 本题主要考查诱导公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．