Question

已知数列{a_n}是一个公差大于零的等差数列，且a₁a₅=45，a₂+a₄=18，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）将数列{b_n}中第a₁项，第a₂项，…，第a_n项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{d_n}，求数列{d_n}的前2014项和M₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）等差数列{a_n}公差d＞0，利用等差数列的通项公式可得

a1(a1+4d)=45 2a1+4d=18

，解得即可．
数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2．可得n=1时b₁=2b₁-2，解得b₁．当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，化为b_n=2b_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=a_n•b_n=3n•2ⁿ，利用“错位相减法”可得数列{c_n}的前n项和T_n．
（3）将数列{b_n}中第a₁项，第a₂项，…，第a_n项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{d_n}，
可得d₁=b₁=2，d₂=b2=22，d₃=b₄=2⁴，d4=25，…，其奇数项与偶数项分别组成公比均为8的等比数列．
利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}公差d＞0，且a₁a₅=45，a₂+a₄=18，
∴

a1(a1+4d)=45 2a1+4d=18

，解得

a1=3 d=3

．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2．
∴n=1时b₁=2b₁-2，解得b₁=2．当n≥2时，
b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2），化为b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=3n•2ⁿ，则数列{c_n}的前n项和T_n=3（2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ），
2T_n=3[2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹]，
两式相减可得：-T_n=3（2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）=

3×2(2n-1)

2-1

-3n•2n+1=3（1-n）•2ⁿ⁺¹-6，
化为T_n=6+3（n-1）•2ⁿ⁺¹．
（3）将数列{b_n}中第a₁项，第a₂项，…，第a_n项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{d_n}，
则d₁=b₁=2，d₂=b2=22，d₃=b₄=2⁴，d4=25，…，
则其奇数项与偶数项分别组成公比均为8的等比数列．
数列{d_n}的前2014项和M₂₀₁₄=（d₁+d₃+…+d₂₀₁₃）+（d₂+d₄+…+d₂₀₁₄）
=

2(81007-1)

8-1

+

4(81007-1)

8-1

=

6(81007-1)

7

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．