Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），方向向量为

d

=（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（　　）

• A、2x±y=0
• B、x±2y=0
• C、

  2

  x±y=0
• D、x±

  2

  y=0

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设方向向量为

d

=（1，1）的直线方程为y=x+m，联立

x2 a2 - y2 b2 =1 y=x+m

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由线段AB的中点为（4，1），x₁+x₂=

2a2m

b2-a2

=8，y₁+y₂=8+2m=2，由此求出a=2b，从而能求出双曲线C的渐近线方程．

解答： 解：设方向向量为

d

=（1，1）的直线方程为y=x+m，
联立

x2 a2 - y2 b2 =1 y=x+m

，消去y，得：（b²-a²）x²-2a²mx-a²m²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵线段AB的中点为（4，1），
∴x₁+x₂=

2a2m

b2-a2

=8，y₁+y₂=8+2m=2，
解得m=-3，
∴

-6a2

b2-a2

=8，∴a=2b，
∴双曲线C的渐近线方程为y=±

1

2

x，即x±2y=0．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．