Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，若以弦PQ为直径的圆E过原点O．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求E的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设直线l的方程为x=my+4，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my+4 y2=2px

，得y²-2mpy-8p=0，所以x₁x₂+y₁y₂=-8p（m²+1）+8pm²+16=0，由此能求出抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=4

(m2+ 5 2 )2- 9 4

≥8，此时圆心为（4，0），半径为4，由此能求出圆E面积最小时，其方程为（x-4）²+y²=16．

解答： 解：（Ⅰ）设直线l的方程为x=my+4，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题意知：OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=0，…．（2分）
由

x=my+4 y2=2px

，得y²-2mpy-8p=0，
∴△=4m²p²+32p＞0，
y₁+y₂=2mp，y₁y₂=-8p，…（4分）
∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+4）（my₂+4）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16
=-8p（m²+1）+8pm²+16=0，
∴-8p+16=0，p=2，符合△＞0，
∴抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(m2+1)(4m2p2+32p)

=4

(m2+1)(m2+4)

=4

(m2+ 5 2 )2- 9 4

≥8，
m=0时取“=”，
此时圆心为（4，0），半径为4，
∴圆E面积最小时，其方程为（x-4）²+y²=16．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．