Question

19．在△ABC中，已知4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$．求：
（1）角A的大小；
（2）函数y=cos²B+cos²C的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意和三角函数公式可得cosA的方程，解得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由三角形内角和可得C=$\frac{2π}{3}$-B，∴B∈（0，$\frac{2π}{3}$），代入化简可得y=$\frac{1}{2}$cos（2B+$\frac{π}{3}$）+1，由B的范围和三角函数值域可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$，
∴4•$\frac{1-cos（B+C）}{2}$-（2cos²A-1）=$\frac{7}{2}$，
∴2（1+cosA）-2cos²A+1=$\frac{7}{2}$，
解得cosA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，∴C=$\frac{2π}{3}$-B，∴B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴y=cos²B+cos²（$\frac{2π}{3}$-B）
=cos²B+（-$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）²
=cos²B+$\frac{1}{4}$cos²B+$\frac{3}{4}$sin²B-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinBcosB，
=$\frac{1}{2}$cos²B+$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinBcosB，
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1+cos2B}{2}$+$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B
=$\frac{1}{4}$cos2B-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B+1
=$\frac{1}{2}$cos（2B+$\frac{π}{3}$）+1，
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴2B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴cos（2B+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$cos（2B+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\frac{1}{2}$cos（2B+$\frac{π}{3}$）+1∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∴函数y=cos²B+cos²C的值域为：∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数公式的综合应用和三角函数的值域，属中档题．