Question

9．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（I）求函数f（x）的递增区间；
（2）求函数f（x）的对称轴和对称中心；
（3）若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）首先通过三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出单调区间．
（2）根据正弦函数的对称中心，对称轴求解．
（3）利用函数的定义域，单调性求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．

令$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z
解得：$-\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈z
函数的单调递增区间为：[$-\frac{5π}{12}$+kπ，x≤$\frac{π}{12}$+kπ]（k∈Z）
（2）∵2x+$\frac{π}{3}$=kπ．x=$\frac{kπ}{2}$$-\frac{π}{6}$，k∈z，2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$．x=$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{12}$，k∈z，
∴对称中心（$\frac{kπ}{2}$$-\frac{π}{6}$，0）k∈z，对称轴x═$\frac{kπ}{2}$$+\frac{π}{12}$，k∈z，
（3）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴令$-\frac{π}{6}$≤2x$+\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1．
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤2
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域为[-1，2]．

点评 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数求解单调区间和最值的求法，函数值域．