Question

设x，y满足约束条件

2x-y-1≤0 x-y≥0 x≥0．y≥0

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则

1

a

+

4

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求

1

a

+

4

b

的最小值．

解答： 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-

a

b

x+

z

b

的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由

2x-y-1=0 x-y=0

，解得

x=1 y=1

，即A（1，1）．
此时目标函数的最大值为1即z=a+b=1，
则

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（a+b）=1+4+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=5+4=9，
当且仅当

b

a

=

4a

b

，即b=2a=

1

2

时，取等号，
故

1

a

+

4

b

的最小值为9，
故答案为：9．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．