Question

如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．若PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：首先根据已知条件求出线面垂直，进一步转化成线线垂直，通过平行线做出异面直线的夹角的平面角，最后利用余弦定理求出结果，最后确定夹角的大小．

解答： 解：（1）连接AE，由AB=BE=1，得AE=

2

，同理DE=

2

，
所以：AE²+DE²=4=AD²，由勾股定理逆定理得：∠AED=90°，
所以：DE⊥AE．
由PA⊥平面ABCD，得PA⊥DE，由DE⊥AE，PA⊥DE，PA交AE于A，得DE⊥平面PAE．
所以：PE⊥DE．
 取PA的中点M，AD的中点N，连接MC、NC、MN、AC．
则：NC∥AE，MN∥PD，
所以：∠MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小．
由PA=2，AB=1，BC=2，得NC=MN=

2

，MC=

6

，
所以：cos∠MNC=

2+2-6

2• 2 • 2

=-

1

2

，
∠MNC=

2π

3

．
所以异面直线PD与AE所成的角的大小为

π

3

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的性质定理与判定定理，异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型．