Question

18．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a≤0）．
（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（3）若?a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；
（3）问题转化为（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，即$m＜-4+\frac{2}{3a}$对任意-3＜a＜-2恒成立，求出m的范围即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0）…（1分）
由f'（1）=1…（2分）f（1）=1…（3分），
∴f（x）在x=1处的切线方程为y=x．（4分）
（2）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（{2-a}）x-1}}{x^2}=\frac{{（{ax+1}）（{2x-1}）}}{x^2}（x＞0）$．…（5分）
①当-2＜a＜0时，f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$和$（{-\frac{1}{a}，+∞}）$上是减函数，在$（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}}）$上是增函数；…（6分）
②当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；…（7分）
③当a＜-2时，f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$和$（{0，-\frac{1}{a}}）$上是减函数，在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}}）$上是增函数．（8分）
（3）当-3＜a＜-2时，由（2）可知f（x）在[1，3]上是减函数，
∴$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（1）-f（3）=\frac{2}{3}-4a+（{a-2}）ln3$．…（9分）
由（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|对任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max
即$（{m+ln3}）a-2ln3＞\frac{2}{3}-4a+（{a-2}）ln3$对任意-3＜a＜-2恒成立，
即$m＜-4+\frac{2}{3a}$对任意-3＜a＜-2恒成立，…（10分）
由于当-3＜a＜-2时，$-\frac{13}{3}＜-4+\frac{2}{3a}＜-\frac{38}{9}$，∴$m≤-\frac{13}{3}$．…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．