Question

19．已知$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值，并求出x为何值时，f（x）取得最大值；
（2）求函数f（x）在[-2π，2π]上的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数在周期公式和性质可得函数f（x）的最小正周期和最大值．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；即可求解在[-2π，2π]上的单调增区间．

解答 解：函数$f（x）=sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}=4π$，
根据正弦三角函数的图象和性质：当$\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ$时，
即x=$4kπ+\frac{π}{3}$，函数f（x）取得最大值为1．
可得f（x）取得最大值时x的集合为{x|x=$4kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z}
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得$-\frac{5π}{3}+4kπ≤x≤\frac{π}{3}+4kπ，k∈Z$，
设A=[-2π，2π]
$B=[-\frac{5π}{3}+4kπ，\frac{π}{3}+4kπ]k∈Z$
所以，$A∩B=[-\frac{5π}{3}，\frac{π}{3}]$
即函数f（x）在[-2π，2π]上的单调增区间为$[-\frac{5π}{3}，\frac{π}{3}]$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题．