Question

18．已知边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示．
（Ⅰ）求证：△PAB为直角三角形；
（Ⅱ）求二面角A-PD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BE⊥DC，AB∥CD，从而AB⊥BE，进而∠ABE=90°，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，在翻折过程中，∠ABE=90°不变，由此能证明△PAB为直角三角形．
（Ⅱ）以E为原点，ED为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，
∴BE⊥DC，AB∥CD，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，
∵将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示．
在翻折过程中，∠ABE=90°不变，
∴在△ABP中，∠ABP=90°，
∴△PAB为直角三角形．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠BED=∠ABE=90°，∴DE⊥BE，
以E为原点，ED为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），D（1，0，0），E（0，0，0），
$\overrightarrow{DP}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DA}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{ED}$=（1，0，0），
设平面ADP的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，-1，\sqrt{3}$），
平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设二面角A-PD-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角A-PD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查三角形为直角三角形的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．