Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x＜0}\\{a-lo{g}_{2}（x+2），x≥0}\end{array}\right.$是奇函数，则f（x）＞-1的解集为（　　）

• A． （-2，0]∪（2，+∞）
• B． （-2，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（0，2）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 根据f（0）=0计算a，判断f（x）的（0，+∞）上的单调性和最值，根据奇函数的性质得出f（x）在（-∞，0）上的情况，综合得出答案．

解答 解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
即a-log₂2=0，∴a=1．
∴当x≥0时，f（x）=1-log₂（x+2），
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
令f（x）=-1得1-log₂（x+2）=-1，解得x=2．
∴当x≥0时，f（x）＞-1的解集为[0，2）．
∵当x≥0时，f（x）≤f（0）=0，f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，f（x）＞0，
∴f（x）＞-1的解集为（-∞，0）∪[0，2）=（-∞，2）．
故选D．

点评 本题考查了奇函数的性质，函数单调性判断与最值计算，属于中档题．