Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，且${a_n}=2{a_{n-1}}+{2^n}$（n≥2，n∈N*），则a_n=（2n-1）•2^n-1．

Answer 1

分析 a_n=2a_n-1+2ⁿ，两边同时除以2ⁿ，得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+1$，从而数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列，由此能求出an．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，两边同时除以2ⁿ，得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+1$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，又$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+$n-1=n-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=（n-$\frac{1}{2}$）•2ⁿ，即${a_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$．
故答案为：（2n-1）•2^n-1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．