Question

5．已知圆B：（x-1）²+（y-1）²=2，过原点O作两条不同的直线l₁，l₂与圆B都相交．
（1）从B分别作l₁，l₂的垂线，垂足分别为A，C，若$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=0$，$|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{BC}|$，求直线AC的方程；
（2）若l₁⊥l₂，且l₁，l₂与圆B分别相交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由平面几何知识可知OABC为正方形，OB中点为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，OB斜率为1，即可求直线AC的方程；
（2）若l₁⊥l₂，且l₁，l₂与圆B分别相交于P，Q两点，△OPQ的面积$S=\frac{1}{2}•|OP|•|OQ|=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}cosθ•2\sqrt{2}sinθ=2sin2θ≤2$，即可求△OPQ面积的最大值．

解答 解：（1）由平面几何知识可知OABC为正方形，OB中点为$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，OB斜率为1，
∴AC：x+y-1=0．
（2）∵OP⊥OQ，∴PQ为圆B的直径，且$|OB|=|BP|=|BQ|=\sqrt{2}$，设∠OPQ=θ，
则$|OP|=2\sqrt{2}cosθ$，$|OQ|=2\sqrt{2}sinθ$，
∴△OPQ的面积$S=\frac{1}{2}•|OP|•|OQ|=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}cosθ•2\sqrt{2}sinθ=2sin2θ≤2$，
当且仅当$θ=\frac{π}{4}$时，S取得最大值2．

点评 本题考查直线方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．