Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PA=PE，PB=9，PD=1，∠ABC=60°，则EC的长等于

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC的长．

解答： 解：∵PA是圆O的切线，
∴PA²=PD•PB=9，可得PA=3
∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC
∴∠PAC=∠ABC=60°，
∵△ADE中，PE=PA，
∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圆O中，弦AC、BD相交于E，
∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4
故答案为：4．

点评：本题在圆中给出切线，并且以切线长为一边作正三角形的情况下，求线段的长度．着重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识，属于基础题．