Question

已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x²+y²=b-a的面积的最小值是

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：利用导数可判断f（x）在R上是增函数，利用零点判定定理可知f（x）的零点在[-1，0]内，从而F（x）的零点在[-5，-4]内，于是可得b-a的最小值为1，进而可得答案．

解答： 解：f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2014=

1+x2015

1+x

＞0（x≠-1，x≠0），
又f'（-1）=2015＞0，f'（0）=1＞0，
故f（x）在R上是增函数．
∵f（0）=1＞0，f（-1）＜0，
∴f（x）的零点在[-1，0]内，F（x）的零点在[-5，-4]内，b-a的最小值为1．
∴圆面积最小值为π．
故答案为：π．

点评：此题是难题．考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力