Question

8．如图，李先生家住H小区，他工作在C处科技园区，从家开车到公司上班路上有L₁、L₂两条路线，L₁路线上有A₁、A₂、A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为$\frac{1}{2}$；L₂路线上有B₁、B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$．
（1）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的分布列和数学期望；
（2）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）走L₂路线，遇到红灯次数X的取值为0，1，2．利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列及其数学期望．
（2）走L₁路线，遇到红灯次数ξ～B$（3，\frac{1}{2}）$，可得Eξ．比较Eξ与EX的大小关系即可得出结论．

解答 解：（1）走L₂路线，遇到红灯次数X的取值为0，1，2．
P（X=0）=$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$（1-\frac{3}{4}）$×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$×$（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{9}{20}$，P（X=2）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$．
∴X分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$

数学期望EX=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$=$\frac{27}{20}$．
（2）走L₁路线，遇到红灯次数ξ～B$（3，\frac{1}{2}）$，则Eξ=$3×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∴Eξ＞EX．
因此李先生从上述两条路线中选择L₂的路线上班．

点评 本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、二项分布列的计算与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．