Question

20．已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点A（0，-a）（a＞0）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，a），连接BP，BQ．且QB，QP与x轴分别交于M，N两点，如果QB的斜率与PB的斜率之积为-3，则∠PBQ=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 设PQ：y=kx-a，与抛物线方程x²=2py联立，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理，表示直线的斜率，通过k_BP=-k_BQ，k_BP•k_BQ=-3．求解即可．

解答 解：设PQ：y=kx-a，与抛物线方程x²=2py联立得：x²-2pkx+2pa=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有：x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2pa，
${k_{BP}}+{k_{BQ}}=\frac{{{y_1}-a}}{x_1}+\frac{{{y_2}-a}}{x_2}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-2a（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=0$，
所以：k_BP=-k_BQ而：k_BP•k_BQ=-3．从而${k_{BP}}=\sqrt{3}，{k_{BQ}}=-\sqrt{3}$，
从而得$∠NBM=\frac{π}{3}，∠PBQ=\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．