Question

4．已知圆C：x²+y²-2ax-2y+2=0（a为常数）与直线y=x相交于A，B两点，若∠ACB=$\frac{π}{3}$，则实数a=-5．

Answer 1

分析 根据△ABC是等边三角形列方程解出a．

解答 解：圆心C（a，1），半径r=$\sqrt{{a}^{2}-1}$（a²＞1），
圆心C到直线y=x的距离d=$\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$，
∵若∠ACB=$\frac{π}{3}$，则△ABC是等边三角形，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，即$\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3（{a}^{2}-1）}}{2}$，解得a=1（舍）或a=-5．
故答案为：-5．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．