Question

10．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）证明：不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点；
（Ⅱ）以α为参数，求直线l与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4，直线l的参数方程代入x²+y²=4，得：t²+2tcosα-3=0，由此利用根的判别式能证明不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点．
（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，弦AB的中点P对应的参数为t₀，由中点坐标公式得${t}_{0}=\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}=-cosα$，代入$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$中，能求出弦AB的中点的轨迹方程，由此能求出弦AB的中点轨迹的参数方程．

解答 证明：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4，
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数）代入x²+y²=4，
得：t²+2tcosα-3=0，（*）
由△=（2cosα）²-4×（-3）＞0，
知方程（*）恒有两个不相等实根，
故不论t为何值，直线l与曲线C恒有两个公共点．
解：（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
弦AB的中点P对应的参数为t₀，
则由（*）可知：${t}_{0}=\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}=-cosα$，
代入$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$中，
整理得弦AB的中点的轨迹方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-co{s}^{2}α}\\{y=-sinαcosα}\end{array}\right.$，
∴弦AB的中点轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-cos2α}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}sin2α}\end{array}\right.$，（α为参数）．

点评 本题考查直线与曲线恒有两个公共点的证明，考查弦的中点轨迹的参数方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．