Question

19．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间：
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，0＜λ＜1，若λx₁+（1-λ）x₂=e，证明：λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）＞e．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（Ⅱ）令F（x）=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-f[λx₁+（1-λ）x₂]，求出F′（x）的导数，证出结论即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ln x+1，f′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{e}$；
f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的单调递增区间是（$\frac{1}{e}$，+∞），单调递减区间是（0，$\frac{1}{e}$）；
（Ⅱ）λx₁+（1-λ）x₂=e，f（e）=e，得：f[λx₁+（1-λ）x₂]=e，
令F（x）=λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-f[λx₁+（1-λ）x₂]，（0＜x₁＜x₂），
则F′（x）=λln$\frac{x}{{λx}_{1}+（1-λ{）x}_{2}}$，显然$\frac{x}{{λx}_{1}+（1-λ{）x}_{2}}$=$\frac{1}{λ+（1-λ）\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$＜1，
故F′（x）＜0，F（x）在（0，x₂）递减，
同时F（x₂）=0，由0＜x₁＜x₂得F（x₁）＞F（x₂）=0，
即λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）-f[λx₁+（1-λ）x₂]＞0，
∴λf（x₁）+（1-λ）f（x₂）＞f[λx₁+（1-λ）x₂]=e．

点评 本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．