Question

9．如图，已知：|AC|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则$\overline{AM}•\overline{DC}$的最大值是（　　）

• A． $8+4\sqrt{5}$
• B． $8-4\sqrt{5}$
• C． $4+8\sqrt{5}$
• D． $8\sqrt{5}-4$

Answer 1

分析 建立适当的直角坐标系，求出相关点的坐标，求出$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{DC}$，然后求解$\overline{AM}•\overline{DC}$的表达式，求出最大值即可．

解答 解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-2，0），C（2，0），O（0，0），M（2，-2），
设D（2cosα，2sinα）．
∴$\overrightarrow{AM}$=（4，-2），$\overrightarrow{DC}$=（2-2cosα，-2sinα）．$\overrightarrow{AM}•$$\overrightarrow{DC}$
•=4×（2-2cosα）+4sinα
=8-8cosα+4sinα
=8+4$\sqrt{5}$sin（α-θ），其中tanθ=2．
sin（α-θ）∈[-1，1]，
∴$\overline{AM}•\overline{DC}$的最大值是8+4$\sqrt{5}$，
故选：A．

点评 本题给出直角三角形内的动点，求向量数量的最大值，着重考查了解三角形和平面向量的数量积公式等知识，属于中档题．