Question

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin²A-sin²B=sin²C+$\sqrt{3}$sinBsinC．
（1）求角A；
（2）设a=$\sqrt{3}$，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简式子，利用余弦定理求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出出A；
（2）利用（1）和正弦定理列出关系式，表示出b、c，利用三角形面积公式表示出S，代入所求式子中，利用两角差的余弦函数公式化简，根据余弦函数的性质即可求出最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sin²A-sin²B=sin²C+$\sqrt{3}$sinBsinC，
∴由正弦定理得a²-b²=c²+$\sqrt{3}$bc，则b²+c²-a²=-$\sqrt{3}$bc，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{5π}{6}$；
（2）由条件得，a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{5π}{6}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
得b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}sinB×2\sqrt{3}sinC×\frac{1}{2}$=3sinBsinC，
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B-C），
当B=C时，cos（B-C）取最大值是1，
∴S+3cosBcosC的最大值是3．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，两角差的余弦函数公式，余弦函数的性质的综合应用，考查化简、变形能力，属于中档题．