Question

7．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为求函数F（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²-mlnx+（m+1）x的零点个数问题，通过求导，得到函数F（x）的单调区间，求出F（x）的极小值，从而求出函数h（x）的零点个数即f（x）和g（x）的交点个数．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
当m≤0时，f′（x）≥0，所以函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），无减区间；
当m＞0时，f′（x）=$\frac{（x+\sqrt{m}）（x-\sqrt{m}）}{x}$；
当0＜x＜$\sqrt{m}$时，f′（x）＜0，函数f（x）的单调递减；
当x＞$\sqrt{m}$时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增．
综上：当m≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），无减区间；当m＞0时，函数f（x）的单调增区间是（$\sqrt{m}$，+∞），减区间是（0，$\sqrt{m}$）；
（2）解：令F（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}$x²+（m+1）x-mlnx，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数，
当m=0时，F（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x，x＞0，有唯一零点；当m≠0时，F′（x）=-$\frac{（x-1）（x-m）}{x}$，
当m=1时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F（4）=-ln4＜0，所以F（x）有唯一零点；
当m＞1时，令F′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令F′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，
∴F（x）在（0，1）递减，在（1，m）递增，在（m，+∞）递减，
∴F（x）_极小值=h（1）=m+$\frac{1}{2}$＞0，
∴F（x）和x轴有1个交点，
综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．

点评 本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，考察转化思想，函数的零点问题，是一道中档题．