Question

已知函数f（x）=log₂|x|．
（1）求函数f（x）的定义域及f（-

2

）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域及f（-

2

）的值；
（2）根据函数奇偶数的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（3）利用函数单调性的定义进行判断和证明．

解答： 解：（1）依题意得|x|＞0，解得x≠0，（1分）
所以函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．（2分），
f(-

2

)=log2|-

2

|=log22

1

2

=

1

2

．（4分）
（2）设x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
则-x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．f（-x）=log₂|-x|=log₂|x|=f（x），（6分）
所以f（-x）=f（x）．（7分）
所以函数f（x）是偶函数．（8分）
（3）f（x）在（0，+∞）上的单调增函数．（9分）
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2

x1

x2

．（10分）
因为0＜x₁＜x₂，所以

x1

x2

＜1．（11分）
所以log2

x1

x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上的单调增函数．（12分）

点评：本题主要考查对数函数的性质和图象，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．综合考查函数的性质是应用．