Question

已知数列{a_n}，满足a_n+1=

2an， n为偶数 an+1， n为奇数

，a₁=1，若b_n=a_2n-1+2（b_n≠0）．
（Ⅰ）求a₄，并证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令c_n=n•a_2n-1，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由于a₁=1，an+1=

2an， n为偶数 an+1， n为奇数

，分别令n=1，2，3即可得出．由于

bn+1

bn

=

a2n+1+2

a2n-1+2

=

2a2n+2

a2n-1+2

=2，即可证明数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（I）知：bn=3•2n-1，且cn=n•a2n-1=3n•2n-1-2n，利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，an+1=

2an， n为偶数 an+1， n为奇数

，
∴a₂=1+1=2，
∴a₃=4，
∴a₄=4+1=5；
∵

bn+1

bn

=

a2n+1+2

a2n-1+2

=

2a2n+2

a2n-1+2

=2，
故数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（I）知：bn=3•2n-1，且cn=n•a2n-1=3n•2n-1-2n，
令Sn=1+2•21+…+n•2n-1，①
2Sn=2+2•22+…+n•2n，②
①-②得：-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=（1-n）•2^n-1，
∴Sn=(n-1)2n-1+1．
故T_n=3S_n-（2+4+6+…+2n）=（3n-3）•2^n-1+3-n²-n．

点评：本题考查了分段数列的性质、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．