Question

已知抛物线y²=px（p＞0）上的一点P（x₀，1）到焦点的距离为

5

4

，x₀为整数．
（1）求该抛物线的方程；
（2）求该抛物线到直线x-2y+4=0的距离的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得|PF|=

(x0- p 4 )2+1

=

5

4

，且px₀=1，从而

( 1 p - p 4 )2+1

=

5

4

，由此能求出该抛物线的方程．
（2）设点坐标为（y²，y），将问题化为点到直线的距离L=

|y2-2y+4|

1+4

，由此能求出该抛物线到直线x-2y+4=0的距离的最小值．

解答： 解：（1）∵抛物线y²=px（p＞0）上的一点P（x₀，1）到焦点的距离为

5

4

，x₀为整数，
∴|PF|=

(x0- p 4 )2+1

=

5

4

，且px₀=1，即x0=

1

p

，
∴

( 1 p - p 4 )2+1

=

5

4

，
由p＞0，解得p=1，
∴该抛物线的方程为y²=x．
（2）∵由点在抛物线y²=x上，
∴设点坐标为（y²，y），将问题化为点到直线的距离：
L=

|y2-2y+4|

1+4

=

|(y-1)2+3|

5

≥

3 5

5

．
∴该抛物线到直线x-2y+4=0的距离的最小值为

3 5

5

．

点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查抛物线到直线的距离的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．