Question

数列{a_n}前n项和为S_n，已知a₁=

2

3

，且对任意正整数m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立则实数a的最小值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_m+n=a_m•a_n，令m等于1，确定此数列是首项和公比都为

2

3

的等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S_n，求出满足条件a的范围，再求出a的最小值．

解答： 解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，
令m=1，得到a_n+1=a₁•a_n，所以

an+1

an

=a₁=

2

3

，
则数列{a_n}是首项、公比都为

2

3

的等比数列，
则S_n=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=2[1-(

2

3

)n]＜2，
因为S_n＜a恒成立，所以a≥2，
则实数a的最小值为2，
故选：D．

点评：比呢题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题．