Question

已知函数f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有最大值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先求出函数在原点处的切线的斜率，进一步求出切线方程．
（Ⅱ）利用分类讨论思想进行具体的操作f′(x)=

-2ax2+(2-2a2)x+2a

(x2+1)2

，分别令①a=0②a≠0，进行讨论，求的单调增区间．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论直接求出函数在（0，1）内有最大值只需满足：0＜

1

a

＜1即可
解得结果．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

，当a=1时，f（x）=

2x

x2+1

则：f′(x)=

2(x2+1)-4x2

(x2+1)2

则：f′（0）=2
曲线y=f（x）在原点处的切线方程为：y=2x
（Ⅱ）函数f（x）=

2ax+a2-1

x2+1

则：f′(x)=

-2ax2+(2-2a2)x+2a

(x2+1)2

=-

2(x+a)(ax-1)

(x2+1)2

（1）当a=0时，f，(x)=

2x

(x2+1)2

，
解得：x＞0
（2）当a≠0时
令f′（x）=0，解得：x1=-a，x2=

1

a

①当a＜0时，函数的增区间为：（-∞，

1

a

）和（-a，+∞）
②当a＞0时，函数的增区间为：（-a，

1

a

）
（Ⅲ）根据（2）的结论函数在（0，1）内有最大值只需满足：0＜

1

a

＜1即可
解得：a＞1
故a的范围是：a＞1

点评：本题考查的知识要点：利用导数求函数的切线方程，及函数的单调区间，对参数进行讨论是本题的重点．属于中等题型．