Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1及椭圆外一点M（0，2），过这点引直线与椭圆交于A、B两点，求AB中点P的轨迹方程．（用两种方法解答）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P（x，y）．x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
则

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，两式相减即可得出．
方法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P（x，y）．x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，即可得出．

解答： 解：方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P（x，y）．
x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
则

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，
两式相减可得

(x1+x2)(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴x+2y•

y-2

x

=0，
化为

x2

2

+(y-1)2=1，x=0，y=0时满足上述方程．
方法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P（x，y）．
x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，kAB=

y-2

x

（x≠0）．
当直线AB的向量存在时，设直线AB的方程为y=kx+2．
联立

y=kx+2 x2+2y2=2

，
化为（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△＞0，
x₁+x₂=

-8k

1+2k2

．
∴x=

-4k

1+2k2

，y=kx+2，
把k=

y-2

x

代入x=

-4k

1+2k2

，
化为

x2

2

+(y-1)2=1，x=0，y=0时满足上述方程．

点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题转化为方程联立可得根与系数的关系、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．