Question

在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a、b、c且

cosC

cosB

=

3a-c

b

（Ⅰ）求sinB
（Ⅱ）若b=4

2

，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求出sinB；
（Ⅱ）由条件利用余弦定理、基本不等式可得（a+c）²≤96，当且仅当a=c时，等号成立，由此求得a+c的最大值，即可求△ABC周长的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

cosC

cosB

=

3a-c

b

，
∴

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，
∴sin（B+C）=3sinAcosB，
∴sinA=3sinAcosB，
∴cosB=

1

3

，
∴sinB=

2 2

3

；
（Ⅱ）∵b=4

2

，
∴由余弦定理可得32=a²+c²-2accosB=a²+c²-

2

3

ac=（a+c）²-

8

3

ac≥（a+c）²-

8

3

•(

a+c

2

)2=

1

3

（a+c）²，
∴（a+c）²≤96，当且仅当a=c时，等号成立，
故 a+c≤4

6

，
∴△ABC周长的最大值为4

6

+4

2

．

点评：本题考查和角的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．