Question

4．已知y=f（x）是二次函数，且f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（-$\frac{3}{2}$-x）对x∈R恒成立，f（-$\frac{3}{2}$）=49，方程f（x）=0的两实根之差的绝对值等于7．求此二次函数的解析式．

Answer 1

分析 由题意可设二次函数的解析式为f（x）=a（x+$\frac{3}{2}$）²+49，由已知条件结合韦达定理可得a的方程，解方程可得a值，可得解析式．

解答 解：由题意可得二次函数的对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，顶点为（-$\frac{3}{2}$，49），
∴可设二次函数的解析式为f（x）=a（x+$\frac{3}{2}$）²+49=ax²+3ax+$\frac{9}{4}$a+49，
∴两根x₁，x₂满足x₁+x₂=-3，x₁x₂=$\frac{9}{4}$+$\frac{49}{a}$，
又方程f（x）=0的两实根之差的绝对值等于7，即|x₁-x₂|=7，
∴（x₁-x₂）²=49，∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=49，
∴9-（9+$\frac{4×49}{a}$）=49，解得a=-4
∴此二次函数的解析式为f（x）=-4x²-12x+40

点评 本题考查函数解析式的求解方法，涉及韦达定理和整体思想，属中档题．