Question

14．定义在R上的函数f（x）满足：
①f（x）是偶函数；
②f（x-1）是奇函数；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x=0}\\{lnx，x∈（0，1]}\end{array}\right.$．
则方程f（x）+2=f（2）在区间（-2，10）内的所有实根之和为（　　）

• A． 22
• B． 24
• C． 26
• D． 28

Answer 1

分析 根据f（x）满足的条件①②便可得出f（x）为周期为4的周期函数，并且可得到f（x）的图象关于y轴和点（-1，0）对称，根据f（x）在（0，1]上的解析式可画出f（x）在（0，1]上的图象，根据f（x）的对称性和周期便可画出f（x）在（-2，10）上的图象，并且可以求出f（2）=0，从而得出f（x）=-2．再画出y=-2的图象，该图象和f（x）图象的交点横坐标便是f（x）=-2的解，结合图象即可求出f（x）=-2的所有实根之和，从而找出正确选项．

解答 解：f（x）是偶函数，f（x-1）为奇函数；
∴f（x）的图象关于y轴和点（-1，0）对称，且f（x）=f（-x）=f[（-x+1）-1]=-f（x-2）=f（x-4）；
∴f（x）是周期为4的周期函数；
可作f（x）在（0，1]上的图象，然后作该图象关于y轴的对称图象便可得出f（x）在[-1，0）上的图象，再作关于点（-1，0）的对称图象便可得出在（-2，1]上的图象，再作该图象关于y轴的对称图象，便可得出f（x）在[1，2）上的图象；
∴可得到f（x）在一个周期（-2，2）上的图象，从而得出f（x）在（-2，10）上的图象如下所示：

f（2）=-f（2-2）=-f（0）=0；
∴f（x）+2=0；
即f（x）=-2；
如图所示，f（x）和y=-2交点的横坐标为方程f（x）=-2的解；
根据图象$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=0，\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}=4，\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}=8$；
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆=24．
故选：B．

点评 考查奇函数和偶函数的定义，以及周期函数的定义，方程的解和函数图象交点坐标的关系，以及奇函数、偶函数，和周期函数的对称性，数形结合解题的方法．