Question

9．已知f（$\frac{1-x}{1+x}$）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，求f（x）的解析式和定义域．

Answer 1

分析 利用换元法设t=$\frac{1-x}{1+x}$，进行求解即可．

解答 解：设t=$\frac{1-x}{1+x}$，则t=$\frac{2-（1+x）}{1+x}$=$\frac{2}{1+x}$-1≠-1，
则x=$\frac{2}{t+1}$-1=$\frac{2-t-1}{t+1}$=$\frac{1-t}{1+t}$，
则x²=（$\frac{1-t}{1+t}$）²=$\frac{1-2t+{t}^{2}}{1+2t+{t}^{2}}$，
即f（t）=$\frac{1-\frac{1-2t+{t}^{2}}{′1+2t+{t}^{2}}}{1+\frac{1-2t+{t}^{2}}{1+2t+{t}^{2}}}$=$\frac{1+2t+{t}^{2}-1+2t-{t}^{2}}{1+2t+{t}^{2}+1-2t+{t}^{2}}$=$\frac{4t}{2+2{t}^{2}}$=$\frac{2t}{1+{t}^{2}}$，
即f（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$，函数的定义域为{x|x≠-1}．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用换元法是解决本题的关键．