Question

12．已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S_△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍，建立方程，即可求点P的轨迹方程；
（2）表示出面积，利用换元、配方法，即可得出结论．

解答 解：（1）∵动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍，
∴（x+2）²+y²=4（x-1）²+4y²，
∴（x-2）²+y²=4；
（2）设直线方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
（2，0）到直线的距离为d=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
直线代入圆的方程，整理得（1+k²）x²+（4k²-4）x+4k²=0，
∴|EF|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4-4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△EFM=$\frac{1}{2}$|EF|d=8$\sqrt{\frac{（1-3{k}^{2}）{k}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$
设t=1+k²（t≥1），S_△EFM=8$\sqrt{-4（\frac{1}{t}-\frac{7}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴t=$\frac{8}{7}$时，S_△EFM取得最大值2，此时k=$±\frac{\sqrt{7}}{7}$，y=$±\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+2）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，属于中档题．