Question

10．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1
（1）求证：数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}={（-1）^{n-1}}n{a_n}{a_{n+1}}$，求数列{b_n}的前2n项的和T_2n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1，取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，即可得出．
（2）${b_n}={（-1）^{n-1}}n{a_n}{a_{n+1}}$=（-1）^n-1$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差数列，首项为1，等差数列为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：${b_n}={（-1）^{n-1}}n{a_n}{a_{n+1}}$=（-1）^n-1$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_2n=$\frac{1}{4}$$[（\frac{1}{1}+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{4n-3}+\frac{1}{4n-1}）$-$（\frac{1}{4n-1}+\frac{1}{4n+1}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{4n+1}）$=$\frac{n}{4n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．