Question

12．若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，则向量$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为邻边的四边形对角线相等，所以是矩形，利用一边与对角线长度为2倍关系得到所求．

解答 解：若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，则以$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$为邻边的四边形OACB的对角线相等，
所以OACB是矩形，
并且OC=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|=2OA，即对角线是一边的2倍，所以向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
即∠AOC=$\frac{π}{3}$，
则向量$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow a-\overrightarrow b$与$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow b$的夹角为π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
故选：D．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则及几何意义的运用，关键是由已知判断四边形的形状，属于中档题．