Question

已知二次函数r（x）=ax²-（2a-1）x+b（a，b为常数，a∈R，a≠0，b∈R）的一个零点是2-

1

a

．函数g（x）=lnx，设函数f（x）=r（x）-g（x）．
（Ⅰ）求b的值，当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[

1

2

，1]上的最小值；
（Ⅲ）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,二次函数的性质

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由2-

1

a

是函数r（x）=ax²-（2a-1）x+b的零点可求得b=0，f′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，从而确定函数的单调增区间；
（Ⅱ）当a＜0时，由f′（x）=0得x=-

1

2a

或x=1，讨论函数f（x）在区间[

1

2

，1]上的单调性，从而求最值；
（Ⅲ）设M（x₀，y₀），则点N的横坐标为x₀=

x1+x2

2

，从而求出直线AB的斜率k₁=

y2-y1

x2-x1

=

1

x1-x2

[a（

x

2 1

-

x

2 2

）]+（1-2a）（x₁-x₂）+lnx₂-lnx₁]=a（x₁+x₂）+（1-2a）+

lnx2-lnx1

x1-x2

，切线斜率k₂=f′（x₀）=2ax₀+（1-2a）-

1

x0

=a（x₁+x₂）+（1-2a）-

2

x1+x2

，假设相等，即

lnx2-lnx1

x1-x2

=-

2

x1+x2

，从而得到ln

x2

x1

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，令

x2

x1

=t＞1得lnt=

2(t-1)

t+1

，令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1），从而讨论函数的性质及可．

解答： 解：（Ⅰ）由2-

1

a

是函数r（x）=ax²-（2a-1）x+b的零点可求得b=0．
f′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，
因为a＞0，x＞0，所以2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）当a＜0时，由f′（x）=0得x=-

1

2a

或x=1，
①当-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
所以f（x）在[

1

2

，1]上的最小值为f（1）=1-a．
②当

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

时，
f（x）在[

1

2

，-

1

2a

]上是减函数，在[-

1

2a

，1]上是增函数，
所以f（x）的最小值为f（-

1

2a

）=1-

1

4a

+ln（-2a）．
③当-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1时，f（x）在[

1

2

，1]上是增函数，
所以f（x）的最小值为f（

1

2

）=

1

2

-

3

4

a+ln2．
综上，函数f（x）在[

1

2

，1]上的最小值f_min（x）=

1 2 - 3 4 a+ln2，a＜-1 1- 1 4a +ln(-2a)，-1≤a≤- 1 2 1-a，- 1 2 ＜a＜0

，
（Ⅲ）设M（x₀，y₀），则点N的横坐标为x₀=

x1+x2

2

，
直线AB的斜率k₁=

y2-y1

x2-x1

=

1

x1-x2

[a（

x

2 1

-

x

2 2

）]+（1-2a）（x₁-x₂）+lnx₂-lnx₁]
=a（x₁+x₂）+（1-2a）+

lnx2-lnx1

x1-x2

，
曲线C在点N处的切线斜率k₂=f′（x₀）=2ax₀+（1-2a）-

1

x0

=a（x₁+x₂）+（1-2a）-

2

x1+x2

，
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k₁=k₂，
即

lnx2-lnx1

x1-x2

=-

2

x1+x2

，
所以ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

，
不妨设x₁＜x₂，

x2

x1

=t＞1，
则lnt=

2(t-1)

t+1

，
令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1），
g′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上是增函数，
又g（1）=0，所以g（t）＞0，即lnt=

2(t-1)

t+1

不成立，
所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．

点评：本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质应用，属于难题．